【題目】已知橢圓E：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，若直線與橢圓E相交于MN兩點(diǎn)(異于A點(diǎn))，且滿足，試證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）由題意的離心率公式，求得，，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得和的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將直線方程代入橢圓方程，由題意可知 ，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理，即可求得和的關(guān)系，代入即可求得直線恒過定點(diǎn)．

（1）由橢圓離心率，則，，

將代入橢圓方程：，解得：，則，，

橢圓方程為；

（2）證明：設(shè)，，

由，整理得，

則，，

且，即，

，

即，則，

即，

又，

，化簡(jiǎn)得，，

解得或且均滿足，

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾，

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)，

綜上，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線在點(diǎn)(1，0)處的切線為l : x＋y－1＝0，求a，b的值；

（3）若恒成立，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了響應(yīng)綠色出行，某市推出了新能源分時(shí)租賃汽車，并對(duì)該市市民使用新能源租賃汽車的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，得到有關(guān)數(shù)據(jù)如下表1：

表1

愿意使用新能源租賃汽車

不愿意使用新能源租賃汽車

總計(jì)

男性

100

300

女性

400

總計(jì)

400

其中一款新能源分時(shí)租賃汽車的每次租車費(fèi)用由行駛里程和用車時(shí)間兩部分構(gòu)成：行駛里程按1元/公里計(jì)費(fèi)；用車時(shí)間不超過30分鐘時(shí)，按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi)；超過30分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi).已知張先生從家到上班地點(diǎn)15公里，每天上班租用該款汽車一次，每次的用車時(shí)間均在20~60分鐘之間，由于堵車紅綠燈等因素，每次的用車時(shí)間（分鐘）是一個(gè)隨機(jī)變量.張先生記錄了100次的上班用車時(shí)間，并統(tǒng)計(jì)出在不同時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)如下表2：

表2

時(shí)間（分鐘）

（20，30]

（30，40]

（40，50]

（50，60]

頻數(shù)

20

40

30

10

（1）請(qǐng)補(bǔ)填表1中的空缺數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該市市民對(duì)新能源租賃汽車的使用態(tài)度與性別有關(guān)；

（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，以各時(shí)間段的區(qū)間中點(diǎn)值代表該時(shí)間段的取值，試估計(jì)張先生租用一次該款汽車上班的平均用車時(shí)間；

（3）若張先生使用滴滴打車上班，則需要車費(fèi)27元，試問：張先生上班使用滴滴打車和租用該款汽車，哪一種更合算?

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國(guó)慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風(fēng)景線，每一名女兵都是經(jīng)過層層篩選才最終入選受閱方隊(duì)，篩選標(biāo)準(zhǔn)非常嚴(yán)格，例如要求女兵身高（單位：cm）在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取200人，對(duì)她們的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將所得數(shù)據(jù)分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為75，最后三組的頻率之和為0.7.

（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為受閱女兵的身高X（cm）近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）求；

（ii）若從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若關(guān)于x的不等式的解集為，且中只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰中，斜邊，為直角邊上的一點(diǎn)，將沿直線折疊至的位置，使得點(diǎn)在平面外，且點(diǎn)在平面上的射影在線段上設(shè)，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率之和為．

（1）求a和k的值；

（2）若，設(shè)直線與y軸交于D點(diǎn)，延長(zhǎng)MD與拋物線C交于點(diǎn)N，拋物線C在點(diǎn)N處的切線為n，記直線n，與x軸圍成的三角形面積為S．求S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），E是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線AE，BE分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，記，的面積分別為．

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

（3）求的最小值．

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