Question

（2012•湖北）如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），
（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A-BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可；
（2）由（1）可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)，先利用線線垂直的充要條件計(jì)算出N點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定N點(diǎn)位置，再求平面BMN的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角

解答：解：（1）設(shè)BD=x，則CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=

1

3

×AD×S_△BCD=

1

3

×（3-x）×

1

2

×x（3-x）=

1

6

（x³-6x²+9x）
設(shè)f（x）=

1

6

（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=

1

2

（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值
∴當(dāng)BD=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2）以D為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系D-xyz，
由（1）知，三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（

1

2

，1，0），且

BM

=（-1，1，1）
設(shè)N（0，λ，0），則

EN

=（-

1

2

，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴

EN

•

BM

=0
即（-1，1，1）•（-

1

2

，λ-1，0）=

1

2

+λ-1=0，∴λ=

1

2

，∴N（0，

1

2

，0）
∴當(dāng)DN=

1

2

時(shí)，EN⊥BM
設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），由

n • BN =0 n • BM =0

及

BN

=（-1，

1

2

，0）
得

y=2x z=-x

，取

n

=（1，2，-1）
設(shè)EN與平面BMN所成角為θ，則

EN

=（-

1

2

，-

1

2

，0）
sinθ=|cos＜

EN

，

n

＞|=|

EN • n

| EN |•| n |

|=

|- 1 2 -1|

6 × 2 2

=

3

2

∴θ=60°
∴EN與平面BMN所成角的大小為60°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問(wèn)題中的不變量，空間線面角的計(jì)算方法，空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題