Question

20．某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天下午4：00～5：00同時開放健身房和娛樂室，要求所有教工每天必須參加一個活動．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房．請問，隨著時間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？

Answer 1

分析 設(shè)第n天去健身房的人數(shù)為a_n，去娛樂室的人數(shù)為b_n，得a_n+b_n=150；
根據(jù)題意，推導(dǎo)出a_n的通項公式，判斷n→+∞時，a_n是否穩(wěn)定于某一個常數(shù)即可．

解答 解：記第n天去健身房的人數(shù)為a_n，去娛樂室的人數(shù)為b_n，則a_n+b_n=150；
當(dāng)n=1時，則a₁=150-b₁，
當(dāng)n≥2時，a_n=（1-10%）a_n-1+20%b_n-1
=（1-10%）a_n-1+20%（150-a_n-1）
=30+0.7a_n-1，
則a_n-100=0.7（a_n-1-100），
即$\frac{{a}_{n}-100}{{a}_{n-1}-100}$=0.7；
∴數(shù)列{a_n-100}是a₁-100為首項，以0.7為公比的等比數(shù)列；
∴a_n-100=（a₁-100）•0.7ⁿ，
即a_n=（a₁-100）•0.7ⁿ+100；
當(dāng)n→+∞時，0.7ⁿ→0，
∴（a₁-100）•0.7ⁿ→0，
∴a_n→100；
即隨著時間的推移，去健身房的人數(shù)應(yīng)穩(wěn)定于100人左右．

點評 本題考查了等比數(shù)列的概念與應(yīng)用問題，也考查了遞推數(shù)列的應(yīng)用問題，考查了數(shù)學(xué)建模能力與邏輯推理能力，是綜合性題目．