Question

過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（1，1）的弦AB．
（1）若點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；
（2）求過點(diǎn)M的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的一般式方程及動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，（1）由于弦AB過點(diǎn)M（1，1），故我們可設(shè)出直線AB的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立直線與圓的方程后，根據(jù)韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），我們結(jié)合點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn)，可得到一個(gè)關(guān)于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直線AB的方程．（2）設(shè)AB弦的中點(diǎn)為P，則由A，B，M，P四點(diǎn)共線，易得他們確定直線的斜率相等，由此可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x，y的關(guān)系式，整理后即可得到過點(diǎn)M的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的斜率為k，則AB的方程可設(shè)為y-1=k（x-1）．
得x²+4（kx+1-k）²=16
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4（1-k²）-16=0
，
．
．
∴．
（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P（x，y）
∵A，B，M，P四點(diǎn)共線，
∴k_AB=k_MP

∴．
點(diǎn)評(píng)：在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．