解:(1)∵
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù).
由0<a<b,且f(a)=f(b),
可得 0<a<1<b且
.
所以
.
(2)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.
若存在滿足條件的實數(shù)a,b,則0<a<b
①當a,b∈(0,1)時,
在(0,1)上為減函數(shù).
故
即
解得 a=b.
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.
②當a,b∈[1,+∞)時,
在(1,+∞)上是增函數(shù).
故
即
此時a,b是方程x
2-x+1=0的根,此方程無實根.
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.
當a∈(0,1),b∈[1,+∞)時,由于1∈[a,b],而f(1)=0∉[a,b],
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.
綜上可知,不存在適合條件的實數(shù)a,b.
(3)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb].
則a>0,m>0.
當此時得a,b異號,不符合題意,所以a,b不存在.
a,b∈(0,1)時,由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),
故
當a∈(0,1),b∈[1,+∞)時,易知0在值域內(nèi),值域不可能是[ma,mb],
所以a,b不存在.
故只有a,b∈[1,+∞)
∵f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴
即
1,b是方程mx
2-x+1=0的兩個根.
即關于x的方程mx
2-x+1=0有兩個大于1的實根.設這兩個根為x
1,x
2.
則x
1+x
2=
,x
1•x
2=
.
∴
即
解得
.
故m的取值范圍是
.
分析:(1)根據(jù)分段函數(shù),可知f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù).利用f(a)=f(b),可求
的值;
(2)假設存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a,b],分三種情況討論:a,b∈(0,1);a,b∈[1,+∞);a∈(0,1),b∈[1,+∞),分別利用相應函數(shù)解析式求解即可;
(3)與(2)同樣思路:分三種情況討論:a,b∈(0,1);a,b∈[1,+∞);a∈(0,1),b∈[1,+∞),分別利用相應函數(shù)解析式求解即可的結論.
點評:本題的考點是函數(shù)與方程的綜合應用,主要考查已知分段函數(shù),研究函數(shù)的定義域與值域,利用方程的思想解決函數(shù)問題,有一定的難度.