Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求的值；
（2）是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）？如果存在，請求出m的取值范圍；反之，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=f（x）在[0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-=-1，
∴=2；
（2）假設(shè)存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）
由[a，b]⊆（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，有
，此時a，b是方程mx-+1=0的兩個根，
而m=-，x＞1，令t=∈（0，1），m=-t²+t，?0＜m＜，
或t=∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有
?0＜m＜，
故存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）．m的取值范圍為：（0，）．
分析：（1）利用y=f（x）在[0，1），（1，+∞）上的單調(diào)性，及f（a）=f（b），可得1-=-1，從而求出的值；
（2）可假設(shè)存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0）．再由函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]（m≠0），結(jié)合（1）的結(jié)論知可判斷出a，b是方程mx-+1=0的兩個根，利用函數(shù)思想，即可得到實(shí)數(shù)m所滿足的不等式，解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了分段函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域構(gòu)造方程的思想，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，考查了推理判斷能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題．