Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若f（A）=1，a=

3

且b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式即可得出；
（II）利用（I）可得A，再利用余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函數(shù)f（x）=

m

•

n

-3
=

3

sin2x+2+2cos2x-3
=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)．
故函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由f（A）=1得，2sin(2A+

π

6

)=1，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2abcosA=（b+c）²-3bc，
∵a=

3

且b+c=3，
∴3=3²-3bc，解得bc=2．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×sin

π

6

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式、余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．