Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)實(shí)數(shù)a≥0時(shí)，求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1時(shí)，方程|f（x）|=g（x）；即：|x²-1|=|x-1|，討論①顯然，x=1是方程的解，②x≠1時(shí)，方程可化為|x+1|=1，解出即可，
（2）由（x²-1）≥a|x-1|（*）對(duì)x∈R恒成立，得①x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R，②x≠1時(shí)，（*）可化為a≤

x2-1

|x-1|

，令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1，       (x＞1) -(x+1)，   (x＜1)

，解出即可，
（3）由h（x）=

x2+ax-a-1，      (x≥1) -x2-ax+a+1，   (-1≤x＜1) x2-ax+a-1，       (x＜-1)

，討論①

a

2

＞1，②0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)的情況，綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，方程|f（x）|=g（x）；
即：|x²-1|=|x-1|，
①顯然，x=1是方程的解，
②x≠1時(shí)，方程可化為|x+1|=1，
解得：x=0，x=-2，
綜上：原方程的解為{x|x=1，x=0，x=-2}；
（2）不等式f（x）≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，
即（x²-1）≥a|x-1|（*）對(duì)x∈R恒成立，
①x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R，
②x≠1時(shí)，（*）可化為a≤

x2-1

|x-1|

，
令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1，       (x＞1) -(x+1)，   (x＜1)

，
當(dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞-2，
故此時(shí)a≤-2，
綜上：a≤-2．
（3）∵h(yuǎn)（x）=|f（x）|+g（x）
=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，      (x≥1) -x2-ax+a+1，   (-1≤x＜1) x2-ax+a-1，       (x＜-1)

，
①

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
∴h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3，
②0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，
h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]遞減，在[-1，-

a

2

]，[1，2]遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，
∴h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3，
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)問(wèn)題，是一道綜合題．