Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）+a（

1

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x²+x）（a＞-

1

e

）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（-2-x），證明：當x＞-1時，f（x）＞g（x）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，這里可以考慮對它求導數(shù)，然后討論導數(shù)的符號，從而找出F（x）的單調(diào)區(qū)間．求出F′（x）=（x+1）（e^x+a），對a的取值進行討論，即可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）先求出g（x），要證明f（x）＞g（x），一般要想到的是證f（x）-g（x）＞0，所以這里構造函數(shù)H（x）=f（x）-g（x），即證x＞-1時，H（x）＞0，所以是由x的取值，確定H（x）取值范圍，所以這里可考慮求導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求H（x）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）F（x）=xex+a(

1

2

x2+x)，∴F′（x）=（x+1）（e^x+a）；
∴（1）當a≥0時，e^x+a＞0，所以，x＜-1時，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞減；x＞-1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（-1=，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當-

1

e

＜a＜0時，令e^x+a=0得：x=ln（-a），則ln（-a）＜-1；
所以，x＜ln（-a）時，x+1＜0，e^x+a＜0，所以F′（x）＞0，所以函數(shù)F（x）在（-∞，ln（-a）]上單調(diào)遞增；
ln（-a）＜x＜-1時，x+1＜0，e^x+a＞0，所以F′（x）＜0，所以函數(shù)F（x）在（ln（-a），-1]上單調(diào)遞減；
x＞-1時，x+1＞0，e^x+a＞0，所以F′（x）＞0，所以函數(shù)F（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）g（x）=（-2-x）e^（-2-x），令H（x）=f（x）-g（x）=xe^x-（-2-x）e^（-2-x），則H′（x）=e^x（1+x）+e^（-2-x）（1-x）；
x＞-1時，H′（x）＞0，所以H（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，所以H（x）＞H（-1）=0，即f（x）-g（x）＞0，f（x）＞g（x），即x＞-1時，f（x）＞g（x）成立．

點評：考察去導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這里要對a進行取值討論．第二問，想著構造函數(shù)H（x），利用求導數(shù)判斷H（x）的單調(diào)性，來由x的取值范圍，來確定H（x）的取值范圍，從而證出當x＞-1時，f（x）＞g（x）．．