Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)為何值時，直線是曲線的切線；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】

（1）先令，求其導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，由直線是曲線的切線，得到，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果；

（2）先令，對其求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，結(jié)合題意，即可得到結(jié)果.

（1）令，，

設(shè)切點(diǎn)為，則，，則.

令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以.

（2）令，則，

①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，所以滿足題意.

②當(dāng)時，令，得，

所以當(dāng)時， ，當(dāng)時，.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（ⅰ）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，此時無解.

（ⅱ）當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以 .

設(shè) ，則，

所以在上單調(diào)遞增,

，不滿足題意.

（ⅲ）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，

所以，所以 滿足題意.

綜上所述：的取值范圍為.