Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2ax²-3a²x+b（0＜a＜1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[a+1，a+2]時，恒有|f′（x）|≤a，試確定a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時，關(guān)于x的方程f（x）=0在區(qū)間[1，3]上恒有兩個相異的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，利用導(dǎo)函數(shù)在[a+1，a+2]上是減函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的最大值和最小值．則要使當(dāng)x∈[a+1，a+2]時，恒有|f′（x）|≤a，分a$≤\frac{1}{2}$和a$＞\frac{1}{2}$去絕對值，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組求解a的范圍；
（Ⅲ）把$a=\frac{2}{3}$代入原函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其極值，把方程f（x）在區(qū)間[1，3]上恒有兩個相異的實根，轉(zhuǎn)化為不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）＞0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，求解不等式組得b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a），
令f′（x）=0，得x=a或x=3a．
當(dāng)x∈（-∞，a），（3a，+∞）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（a，3a）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，a），（3a，+∞）上為減函數(shù)，在（a，3a）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，其對稱軸為x=2a，
∵0＜a＜1，∴2a＜a+1，
∴f′（x）在[a+1，a+2]上是減函數(shù)．
當(dāng)x=a+1時，f′（x）取得最大值為2a-1；
當(dāng)x=a+2時，f′（x）取得最小值為4a-4．
∴要使當(dāng)x∈[a+1，a+2]時，恒有|f′（x）|≤a，
當(dāng)a+1≥3a，即a$≤\frac{1}{2}$時，|f′（a+1）|=|2a-1|=1-2a，|f′（a+2）|=4-4a．
由$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤\frac{1}{2}}\\{1-2a≤a}\\{4-4a≤a}\end{array}\right.$，得a∈∅；
當(dāng)a+1＜3a，即a$＞\frac{1}{2}$時，|f′（a+1）|=2a-1，|f′（a+2）|=4-4a．
由$\left\{\begin{array}{l}{1＞a＞\frac{1}{2}}\\{2a-1≤a}\\{4-4a≤a}\end{array}\right.$，得$\frac{4}{5}≤a＜1$．
∴$\frac{4}{5}≤a＜1$滿足0＜a＜1．
故所求a的取值范圍為$\frac{4}{5}≤a＜1$；
（Ⅲ）當(dāng)$a=\frac{2}{3}$時，$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{4}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x+b$，
${f}^{′}（x）=-{x}^{2}+\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}$，
由f′（x）=0得：$-{x}^{2}+\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}=0$解得：x=2或x=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)x∈$（-∞，\frac{2}{3}），（2，+∞）$時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈$（\frac{2}{3}，2）$時，f′（x）＞0．
∴f（x）在$（-∞，\frac{2}{3}），（2，+∞）$上為減函數(shù)，在$（\frac{2}{3}，2）$上為增函數(shù)．
∴要使方程f（x）在區(qū)間[1，3]上恒有兩個相異的實根，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）＞0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}+b≤0}\\{b＞0}\\{-1+b≤0}\end{array}\right.$，
解得：$0＜b≤\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的條件，是難度較大的題目．