Question

18．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是AB的中點，AB=2DC，E是PA的中點，F(xiàn)是△ACD的重心．
（I）求證：BC⊥平面PAC；
（II）求證：EF∥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）利用線面垂直的判定定理，只要證明BC分別于PA，AC垂直即可；
（II）要證EF∥平面PBC，只要證平面EGD∥平面PBC，利用已知以及面面平行的判定定理，只要證明兩個平面的兩條相交直線分別平行即可．

解答 證明：（I）在△ABC中，D為AB邊上的中點，且AB=2CD，
∴AD=DC=DB，故∠DCA=∠DAC，∠DCB=∠DBC，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAC；
（II）連接DF，并延長交AC于G，連接ED，
∵F為△ACD的重心，
∴G為AC的中點，連接EG，
∵E為PA中點，
∴在△PAC中，EG∥PC，
同理可得ED∥PB，
又EG∩ED=E，PC∩PB=P，
∴平面EGD∥平面PBC，
又EF?平面EDG
∴EF∥平面PBC．

點評 本題考查了線面垂直和面面平行的判定定理和性質(zhì)定理的運用；關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系進行證明．