Question

設(shè)f（x）=x+

a

x

，g（x）=x³-x²-3
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若x∈[0，2]，求函數(shù)g（x）的最大值和最小值；
（3）如果在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a=2時，f（x）=x+

2

x

，
所以f′（x）=1-2x^-2，因此f′（1）=-1．
即曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為-1．…（4分）
又f（1）=3，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-3=-（x-1），
即x+y-4=0．…（6分）
（2）因為g（x）=x³-x²-3，所以g′（x）=3x²-2x．
令f'（x）=0，得x=0或x=

2

3

． …（8分）
①若0＜x＜

2

3

，則g'（x）＜0，g（x）在區(qū)間（0，

2

3

）上單調(diào)遞減，
②若

2

3

＜x＜2，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（

2

3

，2）上單調(diào)遞增，
所以當x=

2

3

時，函數(shù)g（x）取得最小值-

85

27

，當x=2時，函數(shù)g（x）取得最大值為1．…（13分）
（3）由（2）知，函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上的最大值g（x）_max=g（2）=1．
∵在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，
∴只需當x∈[

1

2

，2]時，f（x）_min≥g（2）=1恒成立即可，
當a≤0時，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值

1

2

+2a≥1不可能；
當a＞0時，∵f（

1

2

）=

1

2

+2a≥1，∴a≥

1

4

．
當

1

4

≤a≤4時，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（

a

）=2

a

≥1滿足題意；
當a＞4時，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（2）=2+

a

2

≥1滿足題意；
故當a≥

1

4

時，在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立．