Question

設(shè)f（x）=x+

a

x

，g（x）=x³-x²-3
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若x∈[0，2]，求函數(shù)g（x）的最大值和最小值；
（3）如果在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=2代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（2）借助于導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)f（x）=x³-x²-3的最值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行研究．此題只須求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．
（3）由（2）知，函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上的最大值，則問題在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，只需當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）_min≥g（2）=1恒成立即可，然后利用分類討論思想求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上取得最大值，從而建立關(guān)于a的不等關(guān)系，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x+

2

x

，
所以f′（x）=1-2x^-2，因此f′（1）=-1．
即曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-1．…（4分）
又f（1）=3，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-3=-（x-1），
即x+y-4=0．…（6分）
（2）因?yàn)間（x）=x³-x²-3，所以g′（x）=3x²-2x．
令f'（x）=0，得x=0或x=

2

3

． …（8分）
①若0＜x＜

2

3

，則g'（x）＜0，g（x）在區(qū)間（0，

2

3

）上單調(diào)遞減，
②若

2

3

＜x＜2，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（

2

3

，2）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=

2

3

時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值-

85

27

，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為1．…（13分）
（3）由（2）知，函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上的最大值g（x）_max=g（2）=1．
∵在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，
∴只需當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）_min≥g（2）=1恒成立即可，
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值

1

2

+2a≥1不可能；
當(dāng)a＞0時(shí)，∵f（

1

2

）=

1

2

+2a≥1，∴a≥

1

4

．
當(dāng)

1

4

≤a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（

a

）=2

a

≥1滿足題意；
當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（2）=2+

a

2

≥1滿足題意；
故當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的引入，為研究函數(shù)的極值與最值帶來了方便．