Question

6．已知函數(shù)f（x）=ae^x-x²（其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）．
（1）若a=-2，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，試證明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析 （1）將a=-2代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有兩個(gè)根，設(shè)h（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到h（x）的單調(diào)區(qū)間，得到0＜a＜h（1）=$\frac{2}{e}$，從而求出a的范圍；
（3）先求出a的值，從而表示出f（x₁）的表達(dá)式，進(jìn)而求出f（x₁）的單調(diào)區(qū)間，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）a=-2時(shí)，f（x）=-2e^x-x²，f′（x）=-2e^x-2x，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則x₁，x₂是f′（x）=ae^x-2x=0的兩個(gè)根，
即方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有兩個(gè)根，設(shè)h（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
要使a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有兩個(gè)根，只需0＜a＜h（1）=$\frac{2}{e}$，
故實(shí)數(shù)a的范圍是（0，$\frac{2}{e}$）；
（3）證明：由（2）得：函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′（x₁）=a${e}^{{x}_{1}}$-2x₁=0得a=$\frac{{2x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，
∴f（x₁）=a${e}^{{x}_{1}}$-${{x}_{1}}^{2}$=-${{x}_{1}}^{2}$+2x₁，
由于f（x₁）=-${{x}_{1}}^{2}$+2x₁在（0，1）遞增，
由0＜x₁＜1得：0=f（0）＜f（x₁）＜f（1）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題是一道中檔題．