若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求F(x)=h(x)-φ(x)的極值;
(2)函數(shù)h(x)和φ(x)是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線方程;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)和φ(x)的解析式,求出函數(shù)F(x)的解析式,根據求導公式,求出函數(shù)的導數(shù),根據導數(shù)判斷函數(shù)的單調性并求極值
(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)和φ(x)的圖象在(,e)處相交,即f(x)和φ(x)若存在隔離直線,那么該直線必過這個公共點,設隔離直線的斜率為k.則隔離直線方程為y-e=k(x-),即y=kx-k+e,根據隔離直線的定義,構造方程,可求出k值,進而得到隔離直線方程.
解答:解:(1)∵F(x)=f(x)-φ(x)=x2-2elnx(x>0),
∴F′(x)=2x-==
令F′(x)=0,得x=,
當0<x<時,F(xiàn)′(x)<0,x>時,F(xiàn)′(x)>0
故當x=時,F(xiàn)(x)取到最小值,最小值是0
(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)和φ(x)的圖象在(,e)處相交,
因此存在f(x)和φ(x)的隔離直線,那么該直線過這個公共點,
設隔離直線的斜率為k.則隔離直線方程為y-e=k(x-,即y=kx-k+e
由f(x)≥kx-k+e(x∈R),可得x2-kx+k-e≥0當x∈R恒成立,
則△=k2-4k+4e=(k-22≤0,
∴k=2,此時直線方程為:y=2x-e,
下面證明φ(x)≤2x-eexx>0時恒成立
令G(x)=2
x-e-φ(x)=2x-e-2elnx,
G′(x)=2-=(2x-2c)/x=2(x-)/x,
當x=時,G′(X)=0,當0<x<時G′(x)>0,
則當x=時,G(x)取到最小值,極小值是0,也是最小值.
所以G(x)=2x-e-g(x)≥0,則φ(x)≤2x-e當x>0時恒成立.
∴函數(shù)f(x)和φ(x)存在唯一的隔離直線y=2x-e
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的求導,利用導數(shù)求最值,屬于中檔題,主要做題要仔細.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若存在實常數(shù)k和b,使函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx,則可推知h(x),φ(x)的“隔離直線”方程為
y=2
e
x-e
y=2
e
x-e

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)F(x)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,則稱此直線y=kx+b為F(x)和G(x)的“隔離直線”.已知函數(shù)h(x)=x2,m(x)=2elnx(e為自然對數(shù)的底數(shù)),φ(x)=x-2,d(x)=-1.
有下列命題:
①f(x)=h(x)-m(x)在x∈(0,
e
)
遞減;
②h(x)和d(x)存在唯一的“隔離直線”;
③h(x)和φ(x)存在“隔離直線”y=kx+b,且b的最大值為-
1
4
;
④函數(shù)h(x)和m(x)存在唯一的隔離直線y=2
e
x-e

其中真命題的個數(shù)( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省高三12月練習數(shù)學試卷 題型:填空題

若存在實常數(shù)k和b,使函數(shù)對其定義域上的任意實數(shù)x恒有:

,則稱直線 的“隔離直線”。

已知,則可推知的“隔離直線”方程為   ▲     

 

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