Question

已知函數(shù)
（1）g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）求證：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求證：（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得不等式，從而可求p的取值范圍；
（2）設(shè)k（x）=lnx-x+1，證明函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用放縮法，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得（x＞0）
∵g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，
∴或或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）證明：設(shè)k（x）=lnx-x+1，則（x＞0）
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，k（x）取極大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）證明：由（2）知，，
令，即，
∴
=--------（12分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．