Question

已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的x個紅球和4個黑球．現(xiàn)在先從甲盒內(nèi)一次隨機取2個球，再從乙盒內(nèi)一次隨機取出2個球，甲盒內(nèi)每個球被取到的概率相等，乙盒內(nèi)每個球被取到的概率也相等．已知取出的4個球都是黑球的概率

1

5

．
（I）求乙盒內(nèi)紅球的個數(shù)x；
（II）設ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B．由于事件A，B相互獨立，故用概率的乘法公式計算取出的4個球均為黑球的概率；
（II）由題意ξ可能的取值為0，1，2，3，再由概率的乘法公式求出取各個值時的概率，列出分布列由公式計算出數(shù)學期望即可．

解答：解：（I）設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A，
“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B．
由于事件A，B相互獨立，所以取出的4個球均為黑球的概率為
P（AB）=P（A）P（B）=

C 2 3

C 2 4

×

C 2 4

C 2 x+4

   
依題設

C 2 3

C 2 4

×

C 2 4

C 2 x+4

=

1

5

，
即

6

(x+4)(x+3)

=

1

5

，∴（x-2）（x-9）=0，∴x=2或x=-9（舍）
故乙盒內(nèi)紅球的個數(shù)為2．  
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3由（I）知P（ξ=0）=

1

5

，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 2 4

×

C 2 4

C 2 6

+

C 2 3

C 2 4

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

7

15

，
P（ξ=3）=

C 1 3 × C 1 1

C 2 4

×

C 2 2

C 2 6

=

1

30

'
P（ξ=2）=1-P（ξ=3）-P（ξ=1）-（ξ=0）=

3

10

ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列以及數(shù)學期望的求法，求解此類題的關鍵是求出相應的概率得出分布列，熟練掌握各類事件的概率求法及概率的性質(zhì)，使得解題變得容易．