Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點，當時，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增；在上單調遞減；

（2）

【解析】

（1）先對函數求導，分別討論和，即可得出結果；

（2）先由（1）得到，，對化簡整理，再令，得到，根據（1）和求出的范圍，再令，用導數的方法求其最大值，即可得出結果.

（1）由得；

因為，所以；

因此，當時，在上恒成立，所以在上單調遞增；

當時，由得，解得或；由得；

所以在，上單調遞增；在上單調遞減；

綜上，當時，在上單調遞增；

當時，在，上單調遞增；在上單調遞減；

（2）若有兩個極值點，

由（1）可得， 是方程的兩不等實根，

所以，，

因此

，

令，則；

由（1）可知，

當時，，

所以，

令，，

則在上恒成立；

所以在上單調遞減，

故.

即的最大值為.