Question

（2013•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=e^ax+3x，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若存在區(qū)間M，使f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

ax-1

x

，對a分a≤0與a＞0討論，通過f′（x）的符號可判斷f（x）在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，從而可求得f（x）的極值；
（Ⅱ）可求得g′（x）=ae^ax+3，對a分a＞0，a=0與a＜0討論，通過f′（x）的符號可判斷f（x）在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，可求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
從而f（x）沒有極大值，也沒有極小值．
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x=

1

a

．f（x）和f′（x）的情況如下：

x	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

a

）；單調(diào)增區(qū)間為（

1

a

，+∞）．
從而f（x）的極小值為f（

1

a

）=1+lna；沒有極大值．
（Ⅱ）解：g（x）的定義域為R，且 g′（x）=ae^ax+3．
③當(dāng)a＞0時，顯然 g′（x）＞0，從而g（x）在R上單調(diào)遞增．
由（Ⅰ）得，此時f（x）在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意．
④當(dāng)a=0時，g（x）在R上單調(diào)遞增，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．
⑤當(dāng)a＜0時，令g′（x）=0，得x₀=

1

a

ln（-

3

a

）．g（x）和g′（x）的情況如下表：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘		↗

當(dāng)-3≤a＜0時，x₀≤0，此時g（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，由于f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．
當(dāng)a＜-3時，x₀＞0，此時g（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減，由于f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-3）∪（0，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查分類討論思想與與方程思想，屬于難題．