(2013•濰坊一模)已知數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成等差數(shù)列{bn},Sn是{bn}的前n項和,且b1=a1=1,S5=15.
( I )若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知a9=16,求a50的值;
(Ⅱ)設(shè)Tn=
1
Sn+1
+
1
Sn+2
+…+
1
S2n
,當(dāng)m∈[-1,1]時,對任意n∈N*,不等式t3-2mt-
8
3
Tn
恒成立,求t的取值范圍.
分析:(I)由等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=1,S5=15.求出數(shù)列的公差后,可得數(shù)列的通項公式,結(jié)合數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,a9=16,可求出公比,進(jìn)而求出a50的值;
(Ⅱ)由(1)求出Sn的表達(dá)式,利用裂項相消法求出Tn的表達(dá)式,進(jìn)而將不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為最值問題,利用導(dǎo)數(shù)法,可得答案.
解答:解:(I)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,
∵b1=1,S5=5+10d=15.
解得d=1
∴bn=n
∴b4=a7=4,
設(shè)第三行開始,每行的公比都是q,且q>0
則a9=a7•q2=4q2=16
解得q=2
又由前9行共有1+2+3+…+9=45個數(shù)
故a50是數(shù)列第10行第5個數(shù)
故a50=b10•q4=10×16=160
(II)由(I)易得Sn=1+2+…+n=
n(n+1)
2

Tn=
1
Sn+1
+
1
Sn+2
+…+
1
S2n
=
2
(n+1)(n+2)
+
2
(n+2)(n+3)
+…+
2
2n•(2n+1)

=2(
1
n+1
-
1
n+2
+
1
n+2
-
1
n+3
+…+
1
2n
-
1
2n+1

=2(
1
n+1
-
1
2n+1

=
2n
(n+1)(2n+1)

令f(x)=
2x
(x+1)(2x+1)
(x≥1)
∴f′(x)=
2-4x2
(x+1)2(2x+1)2
,(x≥1)
由x≥1時,f′(x)<0,故f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù)
∴Tn隨n的增大而減小,故當(dāng)n=1時Tn取最大值T1=
1
3

若不等式t3-2mt-
8
3
Tn
恒成立,
t3-2mt-
8
3
1
3
恒成立,
即t3-2mt-3>0恒成立,
令g(m)=t3-2mt-3,m∈[-1,1]
g(-1)>0
g(1)>0

2t+t2-3>0
-2t+t2-3>0

解得t<-3或t>3
點評:本題考查的知識點是等差數(shù)列,等比數(shù)列,其中(I)的關(guān)鍵求出數(shù)列的通項公式,(II)的關(guān)鍵是利用裂項相消法求出Tn的表達(dá)式.
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.
z
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