Question

【題目】已知右焦點為F（c，0）的橢圓M： =1（a＞b＞0）過點 ，且橢圓M關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點（4，0）且不垂直于y軸的直線與橢圓M交于P，Q兩點，點Q關于x軸的對稱原點為E，證明：直線PE與x軸的交點為F．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：橢圓M： =1（a＞b＞0）焦點在x軸上，

橢圓過點 ，即 ，

橢圓M關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點，

∴a=2c，

由a2=b2+c2，則b2= a2，

解得：a2=4，b2=3，

∴橢圓的標準方程

（2）證明：設直線PQ的方程為：y=k（x﹣4），k≠0，

∴ ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，

∵過點P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于P，Q兩點，

∴由△=（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，得：k∈（﹣ ， ），

設P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x4，﹣y4），

則x1+x2= ，x1x2= ，

則直線AE的方程為y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0得：x=﹣y1 +x1= = = = =1．

∴直線PE過定點（1，0），

由橢圓的焦點坐標為（1，0），則直線PE與x軸的交點為F

【解析】（1）由題意可知：橢圓M： =1（a＞b＞0）焦點在x軸上，將點 代入橢圓上，即 ，a=2c，則b2= a2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線PQ的方程為：y=k（x﹣4），k≠0，代入橢圓方程，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由根的判別式得到k∈（﹣ ， ），由韋達定理及直線的方程代入x=﹣y1 +x1=1，由此能證明直線AE過定點（1，0），由橢圓的焦點坐標為（1，0），則直線PE與x軸的交點為F．