Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k₁，k₂，證明存在常數(shù)λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），將k₁、k₂用此兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，尋求這兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系即可；
（2）利用S_△OMN=$\frac{1}{2}$•3|x₁|•$\frac{3}{4}$|y₁|=$\frac{9}{8}$|x₁|•|y₁|，及基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∵k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直線AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m（k、m≠0），代入橢圓方程，
消去y整理得：（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
由題可知：x₁≠-x₂，∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$，
所以直線BD的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁），
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0），
∴k₂=-$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，∴k₁=-$\frac{1}{2}$k₂，
即存在常數(shù)λ=-$\frac{1}{2}$使得k₁=λk₂結(jié)論成立．
（ii）直線BD的方程y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁），
令x=0可得：y=-$\frac{3}{4}$y₁，即N（0，-$\frac{3}{4}$y₁），
由（i）知M（3x₁，0），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$•3|x₁|•$\frac{3}{4}$|y₁|=$\frac{9}{8}$|x₁|•|y₁|，
∵|x₁|•|y₁|≤$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+${{y}_{1}}^{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{|{x}_{1}|}{2}$=|y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S_△OMN取得最大值$\frac{9}{8}$，
∴△OMN面積的最大值為$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．