Question

6．如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E為PA的中點(diǎn)．

（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）欲證平面EDB⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面EDB內(nèi)一直線與平面ABCD垂直，連接AC與BD相交于O，連接EO，而根據(jù)題意可得EO⊥平面ABCD；
（2）在底面作OH⊥BC，垂足為H，根據(jù)OE∥平面PBC可知點(diǎn)E到平面PBC的距離就是點(diǎn)O到平面PBC的距離OH，求出OH即可求出點(diǎn)E到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：連接AC與BD相交于O，連接EO，則EO∥PC，
因?yàn)镻C⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD
又EO?平面EDB，
所以平面EDB⊥平面ABCD；
（2）解：在底面作OH⊥BC，垂足為H，
因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面ABCD，
所以O(shè)H⊥平面PCB，
又因?yàn)镺E∥PC，
所以O(shè)E∥平面PBC，
所以點(diǎn)E到平面PBC的距離就是點(diǎn)O到平面PBC的距離OH，解得OH=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$．

點(diǎn)評 本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及點(diǎn)、線、面間的距離計算等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．