Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)l:y=-1，定點(diǎn)F(0，1)，過(guò)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P作PQ丄l于Q點(diǎn)，且•

(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，分別交x軸于點(diǎn)B、C，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y₀>4時(shí)，試用y₀表示線(xiàn)段BC的長(zhǎng)，并求ΔPBC面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最小值為32．

【解析】（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件列式化簡(jiǎn)即可；（Ⅱ）先求出切線(xiàn)方程，然后利用弦長(zhǎng)公式求出三角形的底邊，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出高，進(jìn)一步求出面積的最值

（Ⅰ）設(shè)，則，∵，

∴． …………………2分

即，即，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程． …………………………4分

（Ⅱ）解法一：設(shè)，不妨設(shè)．

直線(xiàn)的方程:，化簡(jiǎn)得 ．

又圓心到的距離為2， ，        

故，易知，上式化簡(jiǎn)得， 同理有．　…………6分　

所以，，…………………8分

則．

因是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，有，

則 ，． ………………10分

所以．

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)．

因此的最小值為32．  ……………………12分 

解法二：設(shè), 則，、的斜率分別為、，

則：，令得，同理得；

所以，……………6分

下面求,由到：的距離為2，得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821035427875683/SYS201207182104353100238146_DA.files/image018.png">，所以，化簡(jiǎn)得，

同理得…………………8分

所以、是的兩個(gè)根.

所以

，，

，……………10分

所以．

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)．

因此的最小值為32．