Question

如圖，ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，p為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：面FBC∥面EAD；
（Ⅱ）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（Ⅲ）求四面體PCEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥CF，由此能證明面FBC∥面EAD．
（Ⅱ）由已知得PD⊥PC，PD⊥CF，由此能證明平面PCF⊥平面PDE，
（Ⅲ）由PD⊥平面PFC，PC=PD=2

2

a，CF⊥平面ABCD，CF=2a，能求出四面體PCEF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD為矩形，∴AD∥BC，
∵CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴DE∥CF，
∵BC，CF?平面BCF，且BC∩CF=C，
∴面FBC∥面EAD．
（Ⅱ）證明：在矩形ABCD中，由AP=BP=2a，得PC=PD=2

2

a，
又CD=4a，由勾股定理，得PD⊥PC，
∵CF⊥平面ABCD，則PD⊥CF，
由PC∩CF=C，得PD⊥平面PFC，
∴PD?平面PDE，
∴平面PCF⊥平面PDE，
（Ⅲ）解：∵PD⊥平面PFC，PC=PD=2

2

a，
CF⊥平面ABCD，CF=2a，
∴S△PFC=

1

2

×PC×FC=

1

2

×2

2

a×2a=2

2

a2，
∴四面體PCEF的體積：
V=

1

3

S△PFC×PD=

1

3

×2

2

a2×2

2

a=

8a3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．