Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，1），$\overrightarrow{n}$=（1+sinx，acosx+b），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，x∈[0，π]時(shí)，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值；
（3）當(dāng)a=-b=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1有交點(diǎn)，求相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的最短距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求出f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單性即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，x∈[0，π]時(shí)，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，結(jié)合已知f（x）的值域是[3，4]，建立方程關(guān)系即可求a，b的值；
（3）化簡f（x），解方程f（x）=1，求出方程的根即可得到結(jié)論．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，1），$\overrightarrow{n}$=（1+sinx，acosx+b），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=a+asinx+acosx+b=a$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a+b．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{n}$=（1+sinx，cosx+b），
則f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+sinx+cosx+b=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1+b，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，π]時(shí)，則x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∵a＜0，∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值y=a$\sqrt{2}$+a+b．
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值y=a$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+a+b=b．
∵f（x）的值域是[3，4]，
∴b=4，a$\sqrt{2}$+a+b=3，
解得a=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$=-（1+$\sqrt{2}$）．
（3）若a=-b=$\sqrt{2}$時(shí)，即a=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$時(shí)，
f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
由f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）=1得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
則x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或x+$\frac{π}{4}$=2mπ+$\frac{5π}{6}$，
即x₁=2kπ-$\frac{π}{12}$或x₂=2mπ+$\frac{7π}{12}$，
則|x₂-x₁|=|2mπ+$\frac{7π}{12}$-2kπ+$\frac{π}{12}$|=|2（m-k）+$\frac{2π}{3}$|，
∴當(dāng)m=k時(shí)，|x₂-x₁|=$\frac{2π}{3}$，
即相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的最短距離為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)．