【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的焦距為,且橢圓C過(guò)點(diǎn)A(1, ),
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L:y=kx+m與橢圓交于兩不同點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),且y1y2=k2x1x2,求直線L的斜率k;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求△OPQ面積的最大值.
【答案】(I);(Ⅱ)斜率為或﹣;(Ⅲ)1.
【解析】試題分析:(1)由橢圓的焦距為,且橢圓C過(guò)點(diǎn)A(1, ),列出方程求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(2)由,得: (1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率.
(3)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得: x2+2mx+2m2﹣2=0,,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式能求出△OPQ 面積的最大值.
試題解析:
(Ⅰ)∵橢圓C: 的焦距為,且橢圓C過(guò)點(diǎn),
∴由題意得,可設(shè)橢圓方程為,
則,得,
所以橢圓C的方程為.
(Ⅱ)由消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,
△=64k2m2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0,
,
故.
又∵,∴,∴.
∵m≠0,∴,解得,
∴直線L的斜率為或﹣.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知直線L的方程為
由對(duì)稱(chēng)性,不妨把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y得:2x2+4mx+4m2﹣4=0,△=64m2﹣4(4m2﹣4)>0,∵P(x1,y1),Q(x2,y2),∴x1+x2=﹣2m, ,
設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離,則,
當(dāng)且僅當(dāng)m2=1時(shí),等號(hào)成立.∴△OPQ面積的最大值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)證明: ,直線都不是曲線的切線;
(Ⅱ)若,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, 是正三角形,四邊形是矩形,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若點(diǎn)在線段上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字不完全相同”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且到焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且為定值時(shí),證明直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)2010年至2016年農(nóng)村居民家庭純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代號(hào)x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程。
(2)判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?
(3)預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入。
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線 ,若存在實(shí)數(shù) 使得一條曲線與直線 由兩個(gè)不同的交點(diǎn),且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)度恰好等于 ,則稱(chēng)此曲線為直線 的“絕對(duì)曲線”.下面給出的四條曲線方程:
① ;② ;③ ;④ .
其中直線 的“絕對(duì)曲線”的條數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某折疊餐桌的使用步驟如圖所示,有如圖檢查項(xiàng)目:
項(xiàng)目①:折疊狀態(tài)下(如圖1),檢查四條桌腿長(zhǎng)相等;
項(xiàng)目②:打開(kāi)過(guò)程中(如圖2),檢查;
項(xiàng)目③:打開(kāi)過(guò)程中(如圖2),檢查;
項(xiàng)目④:打開(kāi)后(如圖3),檢查;
項(xiàng)目⑤:打開(kāi)后(如圖3),檢查.
在檢查項(xiàng)目的組合中,可以正確判斷“桌子打開(kāi)之后桌面與地面平行的是”( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是否存在一個(gè)等比數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:①a1+a6=11且a3a4= ;②an+1>an(n∈N*);③至少存在一個(gè)m(m∈N*且m>4),使得 am﹣1 , am2 , am+1+ 依次構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出通項(xiàng)公式;若不存在,說(shuō)明理由.
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