Question

6．已知函數(shù)f（x）=log₂x的定義域是[2，8]．
（1）設(shè)g（x）=f（2x）+f（x+2）．求g（x）的解析式及定義域；
（2）求函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的定義求解即可；
（2）利用換元法進行求解．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂^x，
∴g（x）=f（2x）+f（x+2）=${log_2}^{2x}+{log_2}^{（x+2）}={log_2}^{（2{x^2}+4x）}$，（3'）
因為f（x）的定義域是[2，8]，所以$\left\{{\begin{array}{l}{2≤2x≤8}\\{2≤x+2≤8}\end{array}}\right.$，解之得1≤x≤4．
于是 g（x）的定義域為{x|1≤x≤4}．     （6'）
（2）y=（log${{\;}_{2}}^{x}）^{2}$²+$lo{{g}_{2}}^{{x}^{2}}$，
=（log${{\;}_{2}}^{x}）^{2}$²+2log₂x，
令t=$lo{{g}_{2}}^{x}$，x∈[1，$\frac{3}{2}$]，
則y=t²+2t=（t+1）²-1．
當(dāng)t=1時，y_min=3；
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，y_max=$\frac{21}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性和函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．