已知a，b，c∈R+，a+b+c=1．
（1）求（a+1）2+4b2+9c2的最小值；
（2）求證：
1
a
+
b
+
1
b
+
c
+
1
c
+
a
≥
3
3
2
．
分析：（1）在（a+1）2+4b2+9c2的前面乘以，然后利用重要不等式（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2得到要代數(shù)式的最小值．
（2）在不等式的左邊乘以[
a
+
b
)+(
b
+
c
)+(
c
+
a
)]利用重要不等式得到要證的不等式．
解答：解：（1）因為a，b，c∈R+，a+b+c=1，所以
(1+
1
4
+
1
9
)[（a+1）2+4b2+9c2]≥[(a+1)+
1
2
•2b+
1
3
•3c]2=4，
得（a+1）2+4b2+9c2≥
144
49
．
當(dāng)且僅當(dāng)a+1=4b=9c，即a=
23
49
，b=
18
49
， c=
7
49
時，
（a+1）2+4b2+9c2有最小值
144
49
．
（2）因為(a+b+c)(12+12+12)≥(
a
+
b
+
c
)2，
所以∴
a
+
b
+
c
≤
3
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=取等號．
(
1
a
+
b
+
1
b
+
c
+
1
c
+
a
)•[
a
+
b
)+(
b
+
c
)+(
c
+
a
)]≥9

于是≥
9
2(
a
+
b
+
c
)
≥
3
3
2
．
點評：證明不等式時，關(guān)鍵是如何湊成能利用重要不等式的形式，注意重要不等式中等號成立的條件．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

50、已知a，b，c∈R，證明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：
（1）已知x，y都是正實數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2 ≥ 
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+且滿足a+2b+3c=1，則
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值為
9
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　　）

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