Question

（本小題滿分14分）已知（為常數(shù)），曲線在點處的切線與直線垂直.

（Ⅰ）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：當時，；

（Ⅲ）設(shè)，若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析: （Ⅰ）由題知曲線在點處的切線的斜率為-1，求出在x=0處導(dǎo)數(shù)，即可列出關(guān)于方程，即可解出值，代入導(dǎo)函數(shù)中，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù) ，求出，根據(jù)（Ⅰ）知道的單調(diào)性，再利用函數(shù)性質(zhì)即可證明所需證明的不等式；

（Ⅲ）先求出，由在上單調(diào)遞減得，≤0對1≤≤3恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間上恒成立問題，利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，列出關(guān)于m的不等式，即可求出實數(shù)m的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線在點處的切線的斜率為-1.

由，得，

，得

所以，

令，得

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）令，則

由（Ⅰ）知，的極小值即最小值，，

故在上單調(diào)遞增，因此，當時，，即；

（Ⅲ）法一：

由題意知，，因為在上單調(diào)遞減在恒成立， 10分

圖像過點，. 13分

所以滿足實數(shù)的取值范圍為. 14分

法二：

由題意知，，因為在上單調(diào)遞減

在恒成立， 10分

在恒成立，

令 只需 11分

在上為減函數(shù)，

所以滿足實數(shù)的取值范圍為. 14分

考點：曲線的切線；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用