經(jīng)過點F (0,1)且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M點A、D在軌跡M上,且關于y軸對稱,過線段AD (兩端點除外)上的任意一點作直線l,使直線l與軌跡M 在點D處的切線平行,設直線l與軌跡M交于點B、C.
(1)求軌跡M的方程;
(2)證明:∠BAD=∠CAD;
(3)若點D到直線AB的距離等于數(shù)學公式,且△ABC的面積為20,求直線BC的方程.

解:(1)設圓心坐標為(x,y),由題意動圓經(jīng)過定點F(0,1),且與定直線:y=-1相切,
所以 =|y+1|,
即(y-1)2+x2=(y+1)2,
即x2=-4y.故軌跡M的方程為x2=-4y.
(2)由(1)得y=x2,∴y′=x,
設D(x0,),由導數(shù)的幾何意義 得直線l的斜率為kBC=
則A(-x0,),設C(x1,),B(x2,).
則kBC===x0,∴x1+x2=2x0
kAC==,kAB=,
∴kBC+AB=+==0,∴kAB=-kBC
∴∠BAD=∠CAD.
(3)點D到直線AB的距離等于,可知∠BAD=45°,
不妨設C在AD上方,即x2<x1,直線AB的方程為:y-=-(x+x0),與x2=-4y聯(lián)立方程組,
解得B點的坐標為(x0-4,),∴|AB|=|x0-4-(-x0)|=2|x0-2|
由(2)知,∠CAD=∠BAD=45°,同理可得|AC|=2|x0+2|.
∴△ABC的面積為×|x0+2|×2|x0-2|=20.
解得x0=±3.
當x0=3時,B((-1,),KBC=,直線BC的方程為6x-4y+7=0;
當x0=-3時,B((-7,),KBC=-,直線BC的方程為6x+4y-7=0;
分析:(1)設出動圓的圓心坐標,利用動圓經(jīng)過定點F(0,1),且與定直線:y=-1相切,列出方程化簡即可得到所求軌跡方程.
(2)由(1)得y=x2,設D(x0),由導數(shù)的幾何意義,得直線l的斜率,又A(-x0),設C(x1),B(x2,).利用斜率公式得到x1+x2=2x0.從而有kAB=-kBC,即可證得∠BAD=∠CAD.
(3)根據(jù)條件:點D到直線AB的距離等于,可知∠BAD=45°,將直線AB的方程與x2=-4y聯(lián)立方程組,解得B點的坐標,求出|AB|,|AC|,最后根據(jù)△ABC的面積列出方程,解得x0=±3,從而得出直線BC的方程.
點評:本題是中檔題,考查動點的軌跡方程的求法,直線與拋物線的位置關系,考查計算能力.
練習冊系列答案
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(1)求軌跡M的方程;
(2)證明:∠BAD=∠CAD;
(3)若點D到直線AB的距離等于
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|AD|
,且△ABC的面積為20,求直線BC的方程.

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經(jīng)過點F(0,1)且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M.點A、D在軌跡M上,且關于y軸對稱,過線段AD(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡M在點D處的切線平行,設直線與軌跡M交于點B、C.
(1)求軌跡M的方程;
(2)證明:∠BAD=∠CAD;
(3)若點D到直線AB的距離等于
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|AD|
,且△ABC的面積為20,求直線BC的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

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(2)證明:∠BAD=∠CAD;
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|AD|
,且△ABC的面積為20,求直線BC的方程.

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