Question

5．設(shè)O是△ABC的重心，且30sinA•$\overrightarrow{OA}$+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則sinB=（　�。�

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{6}{7}$
• C． $\frac{2\sqrt{6}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{7}$

Answer 1

分析 由O是△ABC的重心得：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{OA}$=$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$代入式子化簡(jiǎn)，利用向量相等列出方程組，化簡(jiǎn)后由正弦定理得到邊之間的關(guān)系，由余弦定理求出cosB，根據(jù)平方關(guān)系和B的范圍求出sinB的值．

解答 解：∵O是△ABC的重心，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{OA}$=$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，
∵30sinA•$\overrightarrow{OA}$+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴30sinA•（$-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）+42sinB•$\overrightarrow{OB}$+35sinC•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
（42sinB-30sinA）•$\overrightarrow{OB}$+（35sinC-30sinA）•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$不共線，∴$\left\{\begin{array}{l}{42sinB-30sinA=0}\\{35sinC-30sinA=0}\end{array}\right.$，
可得sinA=$\frac{7}{5}$sinB=$\frac{7}{6}$sinC，
由正弦定理得，b=$\frac{5}{7}$a、c=$\frac{6}{7}$a，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{（\frac{6}{7}a）}^{2}-{（\frac{5}{7}a）}^{2}}{2a×\frac{6}{7}a}$=$\frac{5}{7}$，
∵0＜B＜π，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，向量的線性運(yùn)算，以及重心的充要條件的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．