Question

已知函數(shù)，
（1）求f（x）的定義域．
（2）證明f（x）為奇函數(shù)．
（3）判斷f（x）的單調性并證明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

解：（1）∵，即-1＜x＜1∴的定義域為（-1，1）（3分）
（2）∵的定義域為（-1，1），在（-1，1）上任取一個自變量x
則
∴f（x）為奇函數(shù)．（6分）
（3）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂∴-1＜x₁＜x₂＜1（17分）（9分）
又0＜1+x₁＜1+x₂&，0＜1-x₂＜1-x₁
∴（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)（12分）
（4）∵f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)∴-1＜x＜1-x＜1
解得（14分）
分析：（1）要使函數(shù)的解析式有意義，自變量x必須滿足使真數(shù)部分大于0，即，解分式不等式即可得到f（x）的定義域．
（2）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，我們可以寫出f（-x）的表達式，然后利用對數(shù)的運算性質，判斷f（-x）與f（x）的關系，即可得到結論；
（3）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，我們判斷利用作差法判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，然后根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可得到結論；
（4）根據(jù)（3）的結論，我們可將不等式轉化為關于x的不等式組-1＜x＜1-x＜1，解不等式組即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點，函數(shù)奇偶性的判斷及對數(shù)函數(shù)持定義域，其中結合對數(shù)的運算性質及復合函數(shù)的性質綜合分析問題是解答本題的關鍵，本題解答過程中易忽略真數(shù)大于0的限制，造成錯解．