Question

（2013•唐山二模）某校學(xué)習(xí)小組開展“學(xué)生語文成績與外語成績的關(guān)系”的課題研究，對該校高二年級800名學(xué)生上學(xué)期期末語文和外語成績，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：語文和外語都優(yōu)秀的有60人，語文成績優(yōu)秀但外語不優(yōu)秀的有140人，外語成績優(yōu)秀但語文不優(yōu)秀的有100人．
（Ⅰ）能否在犯錯概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的語文成績與外語成績有關(guān)系？
（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校高二年紀(jì)學(xué)生成績中，有放回地隨機(jī)抽取3名學(xué)生的成績，記抽取的3個成績中語文、外語兩科成績至少有一科優(yōu)秀的個數(shù)為X，求X的分布列和期望E（X）．

p（K2≥k0）	0.010	0.005	0.001
k0	6.635	7.879	10.828

附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得列聯(lián)表，可計算K²≈16.667＞10.828，可得結(jié)論；
（Ⅱ）可得語文、外語兩科成績至少一科為優(yōu)秀的頻率是

3

8

，X～B（3，

3

8

），P（X=k）=

C

k 8

（

3

8

）^k（

5

8

）^8-k，k=0，1，2，3，計算可得各個概率，可得分布列，進(jìn)而可得期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意得列聯(lián)表：

	語文優(yōu)秀	語文不優(yōu)秀	總計
外語優(yōu)秀	60	100	160
外語不優(yōu)秀	140	500	640
總計	200	600	800

因為K²=

800(60×500-100×140)2

160×640×200×600

≈16.667＞10.828，
所以能在犯錯概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生母語對于學(xué)習(xí)和掌握一門外語有關(guān)系．…（5分）
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)，語文、外語兩科成績至少一科為優(yōu)秀的頻率是

3

8

．
則X～B（3，

3

8

），P（X=k）=

C

k 3

（

3

8

）^k（

5

8

）^3-k，k=0，1，2，3．
X的分布列為

X	0	1	2	3
p	125 512	225 512	135 512	27 512

所以E（X）=3×

3

8

=

9

8

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及獨立性檢驗，屬中檔題．