Question

已知f(x)=

2

3

x(x2-3ax-

9

2

)(a∈R)．
（I）若過函數(shù)f（x）圖象上一點(diǎn)P（1，t）的切線與直線x-2y+b=0垂直，求t的值；
（II）若函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值，即切線的斜率，利用兩直線垂直斜率之積為-1，列出方程求出a的值．
（2）令導(dǎo)函數(shù)在（-1，1）上的值小于等于0恒成立，解決二次不等式恒成立結(jié)合二次函數(shù)的圖象，令區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的值小于等于0．

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x，∴f'（x）=2x²-4ax-3．
則過P（1，t）的切線斜率為k=f′（1）=-1-4a．（2分）
又∵它與直線x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即a=

1

4

，．（4分）
∴f(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-3x又∵P（1，t）在f（x）的圖象上，∴t=-

17

6

（6分）
（2）∵函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)
∴f'（x）=2x²-4ax-3≤0對(duì)于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）
∵二次函數(shù)f'（x）的圖象開口向上，
∴

f′(-1)=2+4a-3≤0 f′(1)=2-4a-3≤0

（10分）
∴-

1

4

≤a≤

1

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，當(dāng)遞增時(shí)，令其導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立；當(dāng)遞減時(shí)，令其導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立