Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=

cosπx，x∈[0， 1 2 ] 2x-1，x∈( 1 2 ，+∞)

，則不等式f（x）≤

1

2

的解集為（　�。�

• A、[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]
• C、[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]
• D、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因為函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以只需要解出當(dāng)x≥0時的x的范圍，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可得到不等式在R上的解集．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時，由cosπx≤

1

2

得cosπx≤cos

π

3

，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知πx≥

π

3

，解得

1

3

≤x≤

1

2

；
當(dāng)x∈(

1

2

，+∞)時，由2x-1≤

1

2

得

1

2

＜x≤

3

4

，
綜上，當(dāng)x≥0時，f（x）≤

1

2

的解集為[

1

3

，

3

4

]．
又因為f（x）為偶函數(shù)，所以區(qū)間[-

3

4

，-

1

3

]也滿足不等式．
故原不等式的解集為[-

3

4

，-

1

3

]∪[

1

3

，

3

4

]．
故選：D．

點評：本題考查了分段函數(shù)有關(guān)的不等式的解法，以及偶函數(shù)的性質(zhì)在解不等式時的應(yīng)用．