Question

4．雙曲線$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于點M、N，則|MN|等于$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，將漸近線方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩個交點的坐標(biāo)；利用兩點的距離公式求出|MN|．

解答 解：不妨取雙曲線的漸近線的方程為y=$\frac{a}$x，
與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立消去y得2x²=a²
解得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$a代入漸近線方程得M，N兩點的坐標(biāo)分別為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
所以|MN|=$\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{2}b）^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$．
故答案為：$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程與雙曲線的焦點位置有關(guān)、考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立．