Question

已知雙曲線C：和圓O：x²＋y²＝b²(其中原點(diǎn)O為圓心)，過(guò)雙曲線C上一點(diǎn)P(x₀，y₀)引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．

(1)若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，求雙曲線離心率e的取值范圍；

(2)求直線AB的方程；

(3)求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image55.gif" width=61 height=18>，所以，所以．　1分 　　由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image62.gif" width=98 height=28>，所以，所以．　3分 　　故雙曲線離心率的取值范圍為．　4分 　　(2)方法1：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image67.gif" width=213 height=25>， 　　所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．　5分 　　因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，　6分 　　所以聯(lián)立方程組　7分 　　消去，，即得直線的方程為．　8分 　　方法2：設(shè)，已知點(diǎn)， 　　則，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image85.gif" width=62 height=18>，所以，即．　5分 　　整理得． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image89.gif" width=85 height=25>，所以．　6分 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image91.gif" width=62 height=18>，，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image94.gif" width=60 height=45>，所以．　7分 　　所以直線方程為． 　　即． 　　所以直線的方程為．　8分 　　方法3：設(shè)，已知點(diǎn)， 　　則，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image85.gif" width=62 height=18>，所以，即．　5分 　　整理得． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image89.gif" width=85 height=25>，所以．　6分 　　這說(shuō)明點(diǎn)在直線上．　7分 　　同理點(diǎn)也在直線上． 　　所以就是直線的方程．　8分 　　(3)由(2)知，直線的方程為， 　　所以點(diǎn)到直線的距離為． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image104.gif" width=381 height=56>， 　　所以三角形的面積．　10分 　　以下給出求三角形的面積的三種方法： 　　方法1：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上， 　　所以，即． 　　設(shè)， 　　所以．　11分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image114.gif" width=142 height=57>， 　　所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 　　所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．　12分 　　當(dāng)，即時(shí)，，　13分 　　當(dāng)，即時(shí)，． 　　綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．　14分 　　方法2：設(shè)，則．　11分 　　因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即． 　　所以． 　　令，則． 　　所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 　　所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．　12分 　　當(dāng)，即時(shí)，，　13分 　　當(dāng)，即時(shí)，． 　　綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．　14分 　　方法3：設(shè)，則．　11分 　　因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即． 　　所以． 　　令， 　　所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．　12分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3324/0021/b9a07d29c8080444cce87f7734a8f576/C/Image144.gif" width=34 height=17>，所以， 　　當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．　13分 　　當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)． 　　綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．　14分