Question

5．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)中學(xué)生記憶能力x和識(shí)圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：

記憶能力x	4	6	8	10
識(shí)圖能力y	3	﹡﹡﹡	6	8

由于某些原因，識(shí)圖能力的一個(gè)數(shù)據(jù)丟失，但已知識(shí)圖能力樣本平均值是5.5．
（Ⅰ）求丟失的數(shù)據(jù)；
（Ⅱ）經(jīng)過分析，知道記憶能力x和識(shí)圖能力y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（III）若某一學(xué)生記憶能力值為12，請(qǐng)你預(yù)測(cè)他的識(shí)圖能力值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為m，依題意得$\frac{3+m+6+8}{4}=5.5$，即可求丟失的數(shù)據(jù)；
（Ⅱ）用最小二乘法求出回歸系數(shù)，即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（III） 由（Ⅱ）得，當(dāng)x=12時(shí)，$\hat y=0.8×12-0.1=9.5$，即可預(yù)測(cè)他的識(shí)圖能力值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為m，依題意得$\frac{3+m+6+8}{4}=5.5$，解得m=5，
即丟失的數(shù)據(jù)值是5．（2分）
（Ⅱ）由表中的數(shù)據(jù)得：$\overline{x}=\frac{4+6+8+10}{4}=7$，$\overline{y}=5.5$，（4分）$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=4×3+6×5+8×6+10×8=170$，（5分）$\sum_{i=1}^4{x_i^2}={4^2}+{6^2}+{8^2}+{10^2}=216$．（6分）$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-4\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\bar x}^2}}}}=\frac{170-4×7×5.5}{{216-4×{7^2}}}=\frac{4}{5}=0.8$，（8分）$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=5.5-0.8×7=-0.1$，（9分）
所以所求線性回歸方程為$\hat y=0.8x-0.1$．（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得，當(dāng)x=12時(shí)，$\hat y=0.8×12-0.1=9.5$（11分）
即記憶能力值為12，預(yù)測(cè)他的識(shí)圖能力值是9.5．                       （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是理解并掌握求回歸直線方程中參數(shù)a，b的值的方法，及求解的步驟．