Question

7．已知動點M到點（8，0）的距離等于M到點（2，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx-5與軌跡C沒有交點，求k的取值范圍；
（3）已知圓x²+y²-8x-8y+16=0與軌跡C相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）設出點M的坐標，利用已知距離的關系求得x和y的方程，即M的軌跡方程．
（2）聯立直線和圓的方程嗎，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用判別式確定k的范圍．
（3）聯立兩個圓的方程求得AB的直線方程，進而求得圓心到直線AB的距離，利用勾股定理求得AB的長度，

解答 解：（1）設M（x，y），則$\sqrt{{{（x-8）}^2}+{y^2}}=2\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，
整理得x²+y²=16，即動點M的軌跡C的方程為x²+y²=16．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=16\\ y=kx-5\end{array}\right.$，消去y并化簡得（1+k²）x²-10kx+9=0，
因為直線y=kx-5與軌跡C沒有交點，所以△=100k²-36（1+k²）＜0，
即16k²-9＜0，解得$-\frac{3}{4}＜k＜\frac{3}{4}$．
（3）圓x²+y²-8x-8y+16=0的圓心坐標為C₁（4，4），半徑r=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=16\\{x^2}+{y^2}-8x-8y+16=0\end{array}\right.$得x+y-4=0這就是AB所在的直線方程，
又圓心C₁（4，4）到直線AB的距離$d=\frac{|1×4+1×4-4|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=2\sqrt{2}$，
所以$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{16-8}=4\sqrt{2}$．
或：AB所在的直線方程x+y-4=0與x²+y²=16的交點坐標為A（4，0），B（0，4），
所以$|AB|=\sqrt{{4^2}+{4^2}}=4\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了直線和圓的問題的綜合運用．綜合考查了學生分析和推理的能力．