Question

1．已知x，y，z是正實(shí)數(shù)，且x+4y+z=2．則$\frac{1}{x+y}$+$\frac{2（x+y）}{3y+z}$的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由x+4y+z=2得x+y+（3y+z）=2，利用“1”的代換代入$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$化簡(jiǎn)，由基本不等式求出$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$的最小值．

解答 解：由x+4y+z=2得，x+y+（3y+z）=2，
因?yàn)閤，y，z是正實(shí)數(shù)，
所以$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$=$\frac{x+y+3y+z}{2（x+y）}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{3y+z}{2（x+y）}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{3y+z}{2（x+y）}•\frac{2（x+y）}{3y+z}}$=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3y+z}{2（x+y）}=\frac{2（x+y）}{3y+z}$時(shí)取等號(hào)，
所以$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$的最小值是$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用基本不等式求最值問題，將已知條件變形、利用“1”的代換進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決問題的關(guān)鍵，考查化簡(jiǎn)、變形能力．