如圖在棱長為1的正方體中，M,N分別是線段和BD上的點，且AM=BN=

（1）求||的最小值；

（2）當||達到最小值時，與，是否都垂直，如果都垂直給出證明；如果不是都垂直，說明理由．

 

【答案】

(1)；（2）垂直，詳見解析．

【解析】

試題分析：(1)作，連.易知,再由余弦定理可得：，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識即可得到其最小值；建立空間直角坐標系，利用空間向量方法，寫出，，的坐標，利用數(shù)量積即可求證它們是否垂直．

試題解析：（1）作，連.易知

在，由余弦定理可得：

在，。當時，最小值=．

(2)以點為坐標原點,以所在的直線分別為軸建立直角坐標系,由(1)可知,,所以點,,,,,,

則,,,

,

即當||達到最小值時，與，是否都垂直.

考點：本題主要考查了立體幾何中的向量方法，以及運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

兩個相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放入棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有
 
個．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泉州模擬）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線AC1上任取一點P，以A為球心，AP為半徑作一個球．設(shè)AP=x，記該球面與正方體表面的交線的長度和為f（x），則函數(shù)f（x）的圖象最有可能的是（　　）

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A.1個                B.2個             C.3個             D.無窮多個

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如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.

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