Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂分別為其左右焦點，A₁，A₂分別為其左右頂點，若在該雙曲線的右支上存在一點P，使得PF₁與以線段A₁A₂為直徑的圓相切于點M，且點M為線段PF₁的中點，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用中位線定理，可得OM∥PF₂，|OM|=

1

2

|PF₂|，再由雙曲線的定義，以及直線和圓相切的性質，運用勾股定理和離心率公式，即可得到．

解答： 解：由于O為F₁F₂的中點，M為線段PF₁的中點，
則由中位線定理可得OM∥PF₂，|OM|=

1

2

|PF₂|，
由PF₁與以線段A₁A₂為直徑的圓相切于點M，
則|OM|=a，|PF₂|=2a，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₁|=4a，
由OM⊥PF₁，由勾股定理可得a²+（2a）²=c²，
即c²=5a²，
e=

c

a

=

5

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質，考查離心率的求法，考查直線和圓相切的條件，以及中位線定理和勾股定理的運用，考查運算能力，屬于基礎題．