Question

在空間中，若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為

π

3

，且OA=2，OB=1，則直線AB與平面OBC所成角的余弦值為

1

3

．

Answer 1

分析：過A作AM⊥平面OBC，垂足為M，連接AM，BM，則根據(jù)題意可得OM在∠COB的角平分線上，∠ABM是直線AB與平面OBC所成角由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB可求cos∠AOM，在Rt△AOM中，可得AM=AOsin∠AOM，Rt△ABM中，sin∠ABM=

AM

AB

可求，進而可求余弦值

解答：解：過A作AM⊥平面OBC，垂足為M，連接AM，BM
則根據(jù)題意可得OM在∠COB的角平分線上，∠ABM是直線AB與平面OBC所成角
∴∠BOM=30°
由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB
∴cos∠AOM=

cos60°

cos30°

=

1

3

=

3

3

∵OA=2，Rt△AOM中，AM=AOsin∠AOM=

2 6

3

△AOB中，AO=2，OB=1，∠AOB=60°，由余弦定理可得AB²=1+4-2×1×2×cos60°=3
AB=

3

Rt△ABM中，sin∠ABM=

AM

AB

=

2 6 3

3

=

2 2

3

∴cos∠ABM=

1

3

故答案為：

1

3

點評：本題主要考查了直線與平面所成角的求解，解決本題的關鍵有兩點：①當過A作AM⊥平面OBC，則由射線OA、OB、OC兩兩所成角都為

π

3

，可得OM在∠COB的角平分線上，②三余弦定理的應用是解決本題的另一個關鍵，只有知道該結論，才能求解出題目中的AM，進而可求所要求解的角．