Question

在空間中，若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為

π

3

，且OA=2，OB=1，則直線AB與平面OBC所成角的正弦值為

2 2

3

．

Answer 1

分析：取OC=2，可得平面OBC⊥平面ABC，可確定∠ABC即為AB與面OBC所成的角，在△ABC中，利用余弦定理可求直線AB與平面OBC所成角的余弦值，從而可求直線AB與平面OBC所成角的正弦值．

解答：解：由∠AOB=60°、OA=2OB=2得AB⊥OB，AB=

3

不妨取OC=2，由∠COB=60°，得CB⊥OB，BC=

3

∵CB∩AB=B
∴OB⊥平面ABC
∵OB?平面OBC
∴平面OBC⊥平面ABC
過A作AD⊥BC
∴AD⊥平面OBC
∴∠ABC即為AB與面OBC所成的角
∵OA=OC=2，∠AOC=60°，∴AC=2
在△ABC中，AB=BC=

3

，AC=2
由余弦定理，cos∠ABC=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

∴sin∠ABC=

1- 1 9

=

2 2

3

故答案為：

2 2

3

點評：本題考查線面角，解題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)線段的長度，確定線面角，再利用余弦定理求解．