Question

已知數列{a_n}，{b_n}分別是等差數列與等比數列，滿足a₁=1，公差d＞0，且a₂=b₂，a₆=b₃，a₂₂=b₄．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{c_n}對任意正整數n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…

cn

bn

=a_n+1成立，設{c_n}的前n項和為S_n，求證：S₂₀₁₅≥e²⁰¹⁵（e是自然對數的底數）．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）直接根據已知條件建立方程組，求得數列的通項公式．
（Ⅱ）利用構造的新數列，根據通項公式求出數列的和，進一步求出結論成立．

解答： 解：（Ⅰ）因為a₂=1+d，a₆=1+5d，a₂₂=1+21d，且a₂，a₆，a₂₂是等比數列中連續(xù)三項，
所以：（1+5d）²=（1+d）（1+21d），由于d＞0
解得：d=3．
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2，
又b₂=a₂=4，b_，3=a₆=16
所以q=4，b₁=4
所以：bn=4n-1
（Ⅱ）證明：因為

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1所以當n≥2時，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an
兩式作差可得，

cn

bn

=3
所以：c_n=3b_n=3•4^n-1（n≥2），
當n=1時，c₁=b₁a₂=4，不滿足上式，故cn=

4(n=1) 3•4n-1(n≥2)

于是S2015=4+3•41+3•42+…+3•42014=4+3（4¹+4²+…+4²⁰¹⁴）
=4²⁰¹⁵＞e²⁰¹⁵

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，等比數列前n項和公式的應用．屬于基礎題型．