Question

設函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a＞0時，設f（x）的最小值為g（a），若g（a）＜t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=a-=（x＞-1），…（1分）
當a=0時，f′（x）=-＜0，所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無增區(qū)間；
當a≠0時，f′（x）=，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得-1＜x＜，
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，），增區(qū)間為（，+∞），；
若-1＜a＜0，此時-1，所以f′（x）=＜0，
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無增區(qū)間；
綜上，當-1＜a≤0時，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無增區(qū)間，
當a＞0時，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，），增區(qū)間為（，+∞），．…（6分）
（2）由（Ⅰ）得，g（a）=f（）=1-（a+1）ln（+1），…（7分）
因為a＞0，所以g（a）＜t??，
令h（x）=x-（1+x）ln（1+x）-tx，（x＞0），則h（x）＜0恒成立，
由于h′（x）=-ln（1+x）-t，
當t≥0時，h′（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以h（x）＜h（0）=0成立；…（10分）
當t＜0時，若h′（x）＞0，得0＜x＜e^-t-1，
故函數(shù)h（x）在（0，e^-t-1）上是增函數(shù)，
即對0＜x＜e^-t-1，h（x）＞h（0）=0，與題意不符；
綜上，t≥0為所求．…（12分）
分析：（1）求出函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）的導數(shù)，由于參數(shù)a的范圍對導數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（Ⅰ）的結(jié)論，求出g（a）的表達式，由于g（a）＜t恒成立，故求出g（a）的最大值，即得實數(shù)t的取值范圍的左端點．
點評：本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細．