【題目】已知,函數.
(1)求證:曲線在點處的切線過定點;
(2)若是在區(qū)間上的極大值,但不是最大值,求實數的取值范圍;
(3)求證:對任意給定的正數,總存在,使得在上為單調函數.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據導數的幾何意義可求得直線的斜率,從而得切線方程為,進而得切線過定點;(2)令得或,是在區(qū)間上的極大值可得且,可得結果;(3)令,得或遞增;令,得遞減,若在為單調函數,則,即.
試題解析:(1),
曲線在點處的切線方程為,
即,令,則,
故曲線在點處的切線過定點.
(2)解:.
令得或.
是在區(qū)間上的極大值,.
令,得或遞增;令,得遞減.
不是在區(qū)間上的最大值,
在區(qū)間上的最大值為.
,又.
(3)證明:.
.
令,得或遞增;令,得遞減.
.
若在為單調函數,則,即.
故對任意給定的正數,總存在(其中),使得在上為單調函數.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足,
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求證:數列{an}中的任意三項不可能成等差數列;
(3)設,Tn為{bn}的前n項和,求證.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一個八面體各棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,則下列命題中不正確的是
A. 不平行的兩條棱所在直線所成的角為或 B. 四邊形AECF為正方形
C. 點A到平面BCE的距離為 D. 該八面體的頂點在同一個球面上
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線, 極坐標方程分別為, .
(Ⅰ)和交點的極坐標;
(Ⅱ)直線的參數方程為(為參數),與軸的交點為,且與交于, 兩點,求.
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【題目】某房屋開發(fā)公司根據市場調查,計劃在2017年開發(fā)的樓盤中設計“特大套”、“大套”、“經濟適
用房”三類商品房,每類房型中均有舒適和標準兩種型號.某年產量如下表:
房型 | 特大套 | 大套 | 經濟適用房 |
舒適 | 100 | 150 | |
標準 | 300 | 600 |
若按分層抽樣的方法在這一年生產的套房中抽取50套進行檢測,則必須抽取“特大套”套房10套, “大套”15套.
(1)求,的值;
(2)在年終促銷活動中,獎給了某優(yōu)秀銷售公司2套舒適型和3套標準型“經濟適用型”套房,該銷售公司又從中隨機抽取了2套作為獎品回饋消費者.求至少有一套是舒適型套房的概率;
(3)今從“大套”類套房中抽取6套,進行各項指標綜合評價,并打分如下:
現從上面6個分值中隨機的一個一個地不放回抽取,規(guī)定抽到數9.6或9.7,抽取工作即停止.記在抽取到數9.6或9.7所進行抽取的次數為,求的分布列及數學期望.
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【題目】某企業(yè)生產的一種產品的廣告費用 (單位:萬元)與銷售額 (單位:萬元)的統(tǒng)計數據如下表:
廣告費用 | |||||
銷售額 |
(1)根據上述數據,求出銷售額(萬元)關于廣告費用(萬元)的線性回歸方程;
(2)如果企業(yè)要求該產品的銷售額不少于萬元,則投入的廣告費用應不少于多少萬元?
(參考數值: .
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為: )
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