Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a_n＞0，（n∈N*），且{b_n}是以q為公比的等比數(shù)列．
（I）證明：a_n+2=a_nq²；
（II）若c_n=a_2n-1+2a_2n，證明數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列；
（III）求和：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，代入得，從而得到結(jié)論；
（II ）根據(jù)a_n的遞推關(guān)系求出a_2n-1與a_2n，然后代入c_n=a_2n-1+2a_2n可得c_n=5q^2n-2，從而{c_n}是首項(xiàng)為5，以q²為公比的等比數(shù)列．、；
（III）討論q是否為1，然后利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可，最后利用分段形式表示即可．
解答：解：（I）證：由，有，∴a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（ II）證：∵a_n=q_n-2q²，∴a_2n-1=a_2n-3q²=…=a₁q^2n-2，a_2n=a_2n-2q²=…=a₂q^n-2，
∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．
∴{c_n}是首項(xiàng)為5，以q²為公比的等比數(shù)列．
（ III）由（ II）得，，于是==．
當(dāng)q=1時(shí)，=．
當(dāng)q≠1時(shí)，==．
故
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和求和公式等基本知識(shí)及基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．